Introduction

Les liens entre la théorie des probabilités, d’un côté, et des équations différentielles et intégrales, de l’autre côté, sont si nombreux et variés qu’il est presque impossible de les présenter de manière exhaustive et unifiée.

Mark Kac, 1951

L’interaction entre équations différentielles et les probabilités est encore plus féconde aujourd’hui qu’au moment que Mark Kac a écrit les lignes ci-dessus, il y a près de 70 ans. Ce programme thématique est axé sur deux aspects de cette interaction. 

Le premier objectif est de déterminer dans quelle mesure l’introduction d’aléa dans les EDP (par exemple, par le biais de conditions initiales aléatoires, d’environnements aléatoires ou d’un forçage aléatoire) affecte leur comportement à long terme. Ceci fournit des modèles physiques plus flexibles et réalistes pouvant expliquer une gamme plus large de comportements observés dans les systèmes physiques. De plus, pour certains systèmes, l’aléa est nécessaire pour la construction de modèles d’EDP raisonnables. C’est le cas des problèmes de contrôle stochastiques ou des approximations PDE pour les problèmes d’optimisation impliquant plusieurs agents avec des informations incomplètes ou imparfaites.

Le deuxième aspect est la manière dont les les probabilités et les EDP sont utilisés pour construire des modèles mathématiques de dynamiques de groupes, et sur l’interaction entre ces modèles. L’expression «dynamique de groupe» peut désigner, par exemple, la migration d’une espèce, la propagation d’un virus ou la propagation d’électrons à travers un milieu non homogène, pour ne citer que quelques exemples. Très souvent, les processus stochastiques par des EDP dans la limite de la grande population. Lorsque cela est démontré rigoureusement, cela permet de transmettre des informations entre les deux sujets mathématiques.